Derivadas de Orden Superior, es decir las que son:
en R² f : R-->R
x-->y = f(x)
d²y/dx² = d/dx[dy/dx]
d3y/dx3 = d/dx[d²y/dx²]
dny/dxn = d/dx[dn-1y/dxn-1]
en R3 f : R²-->R
(x,y)-->z = f(x,y)
fx = ∂f/∂x
∂/∂x[∂f/∂x] = ∂²f/∂x² = fxx = Dxx
∂/∂y[∂f/∂x] = ∂²f/∂y∂x = fyx = Dyx
fy = ∂f/∂y
∂/∂x[∂f/∂y] = ∂²f/∂x∂y = fxy = Dxy
∂/∂y[∂f/∂y] = ∂²f/∂²f/∂y² = fyy = Dyy
Si f(x,y) es función continua y tiene derivadas parciales de primer orden continuas, entonces ∂²f/∂y∂x = ∂²f/∂x∂y
Si f es una función de "n" variables independientes, existirán "n²" derivadas de segundo orden.
Si f es una función de "n" variables independientes, existirán "nm" derivadas de m-simo orden.
Incrementos totales y parciales de una función de 2 variables.
en R² f : R-->R
x-->y = f(x)
Si "x" sufre un cambio (aumento o disminución), la variable dependiente "y" también se incrementa
Δy = f(x+Δx) - f(x)
en R3 f : R²-->R
(x,y)-->z = f(x,y)
ΔZx = f(x+Δx,y) - f(x,y)
ΔZy = f(x,y+Δy) - f(x,y)
ΔZ = f(x+Δx,y+Δy) - f(x,y)
ΔZ ≠ ΔZx + ΔZy
En general y con aproximaciones, podemos asegurar que
dz = ∂z/∂x dx + ∂z/∂y dy
Derivada Direccional
Para ello veremos sobre el Operador Nabla "∇" y sus operaciones
∇ = (∂/∂x , ∂/∂y , ∂/∂z)
Gradiente
u = u(x , y , z)
Grad u = ∇u = (∂/∂x , ∂/∂y , ∂/∂z) u
∇u = (∂u/∂x , ∂u/∂y , ∂u/∂z)
Divergencia
A = (Ax , Ay , Az)
Div A = ∇ . A = (∂/∂x , ∂/∂y , ∂/∂z) . (Ax , Ay , Az)
Div A = ∂Ax/∂x , ∂Ay/∂y , ∂Az/∂z
Rotacional
A = (Ax , Ay , Az)
Rot A = ∇ x A = (∂/∂x , ∂/∂y , ∂/∂z) x. (Ax , Ay , Az)
Rot A = (∂Az/∂y - ∂Ay/∂z)i - (∂Az/∂x - ∂Ax/∂z)j + (∂Ay/∂x - ∂Ax/∂y) k
Laplaciano
∇ . ∇ = ∇² = (∂/∂x , ∂/∂y , ∂/∂z) . (∂/∂x , ∂/∂y , ∂/∂z)
∇² = (∂²/∂²x , ∂²/∂²y , ∂²/∂²z)
Ecuación de Laplace
∂u²/∂²x , ∂u²/∂²y , ∂u²/∂²z = 0
Derivada Direccional
f es una función de x y y, la derivada direccional de f (x , y) en la dirección u es
Duf(x , y) = ∇ f(x , y) . u
Es la derivada en la dirección de un valor específico que nos piden encontrar
Si f es una función diferenciable de x, y y z, la derivada direccional de f(x , y , z) en la dirección u es
Duf(x , y , z) = ∇ f(x , y , z) . u
∇ f(x , y) . u = |∇f ||u| cos α ; |u| = 1
i) si α = 0
cos 0 = 1
Duf(x , y) = |∇f | Máximo valor de cambio
ii) si α = π/2
cos π/2 = 0
Duf(x , y) = 0 Estado Estacionario
ii) si α = π
cos π/2 = -1
Duf(x , y) = -|∇f | Mínimo valor de cambioFunciones Implícitas
F(x,y,z) = 0
G(x,y) = 0
Ax + By + Cz + D = 0 --> F(x,y,z)
x² + y² + z² - R² = 0 --> G(x,y,z)
Derivación de Funciones Implícitas
Método 1: Por Diferenciación
I) F(x,y) = 0
∂F/∂x dx + ∂F/∂y dy = 0
i) y = f(x) --> ∂y/∂x
∂y/∂x = -(∂F/∂x)/(∂F/∂y)
ii) x = f(y) --> ∂x/∂y
∂x/∂y = -(∂F/∂y)/(∂F/∂x)
II) F(x,y,z) = 0
∂F/∂x dx + ∂F/∂y dy + ∂F/∂z dz = 0
i) z = f(x,y) --> ∂z/∂x , ∂z/∂y
∂z/∂x = -(∂F/∂x)/(∂F/∂z)
∂z/∂y = -(∂F/∂y)/(∂F/∂z)
∂y/∂x = -(∂F/∂x)/(∂F/∂y)
∂y/∂z = -(∂F/∂z)/(∂F/∂y)
iii) x = f(y,z) --> ∂x/∂y , ∂x/∂z
∂x/∂y = -(∂F/∂y)/(∂F/∂x)
∂x/∂z = -(∂F/∂z)/(∂F/∂x)
Método 2: Por derivación Implicita
F(x,y,z) = 0
∂F/∂x . ∂x/∂x + ∂F/∂y . ∂y/∂x + ∂F/∂z . ∂z/∂x = 0 Con respecto a "x"
∂F/∂x . ∂x/∂y + ∂F/∂y . ∂y/∂y + ∂F/∂z . ∂z/∂y = 0 Con respecto a "y"
∂F/∂x . ∂x/∂z + ∂F/∂y . ∂y/∂z + ∂F/∂z . ∂z/∂z = 0 Con respecto a "z"
Sistemas de Funciones Implícitas
F(x,y,u,v) = 0
G(x,y,u,v) = 0
x = x (u,v) y = y (u,v)
∂x/∂u , ∂x/∂v ∂y/∂u , ∂y/∂v
Método de diferenciación
∂F/∂x dx + ∂F/∂y dy + ∂F/∂u du + ∂F/∂v dv = 0
∂G/∂x dx + ∂G/∂y dy + ∂G/∂u du + ∂G/∂v dv = 0
Si x = x(u,v)
dx = ∂x/∂u du + ∂x/∂v dv
Si y = y(u,v)
dy = ∂y/∂u du + ∂y/∂v dv
Determinante Jacobiano
| ∂F/∂x ∂F/∂y |
D = | | = ∂(F,G)
| ∂G/∂x ∂G/∂y |
| ∂F/∂u ∂F/∂y | | ∂F/∂v ∂F/∂y |
D1 = - | | du - | | dv
| ∂G/∂u ∂G/∂y | | ∂G/∂v ∂G/∂y |
D1 = -∂(F,G)/∂(u,v) du - ∂(F,G)/∂(u,v) dv
∂x = D1/D
∂x/∂u = -(∂(F,G)/∂(u,y))/(∂(F,G)/∂(x,y))
∂x/∂v = -(∂(F,G)/∂(v,y))/(∂(F,G)/∂(x,y))
| ∂F/∂x ∂F/∂u | | ∂F/∂x ∂F/∂v |
D2 = - | | du - | | dv
| ∂G/∂x ∂G/∂u | | ∂G/∂x ∂G/∂v |
D2 = -∂(F,G)/∂(x,u) du - ∂(F,G)/∂(x,v) dv
∂x = D2/D
∂x/∂u = -(∂(F,G)/∂(x,u))/(∂(F,G)/∂(x,y))
∂x/∂v = -(∂(F,G)/∂(x,v))/(∂(F,G)/∂(x,y)) Máximos y mínimos
D2 = - | | du - | | dv
| ∂G/∂x ∂G/∂u | | ∂G/∂x ∂G/∂v |
D2 = -∂(F,G)/∂(x,u) du - ∂(F,G)/∂(x,v) dv
∂x = D2/D
∂x/∂u = -(∂(F,G)/∂(x,u))/(∂(F,G)/∂(x,y))
∂x/∂v = -(∂(F,G)/∂(x,v))/(∂(F,G)/∂(x,y)) Máximos y mínimos
en R² f : R-->R
x-->y = f(x)
df/dx = 0 --> Pto. crítico --> Ptos. Máximos o mínimos
Sea z = f(x,y) definida en un dominio D y que existan las derivadas parciales y que sean continuas en D. Sea (xo,yo) las coordenadas de un punto donde ∂z/∂x ˄ ∂z/∂y son iguales a cero y sean:
A = ∂²z/∂x² evaluado en xo,yo
B = ∂²z/∂x∂y evaluado en xo,yo
C = ∂²z/∂y² evaluado en xo,yo
Entonces se tienen los siguientes casos
B² - AC < 0 ˄ A + C < 0, Ǝ Mr en (xo,yo)
B² - AC < 0 ˄ A + C > 0, Ǝ mr en (xo,yo)
B² - AC > 0, Ǝ Punto de Silla en (xo,yo)
B² - AC = 0, Naturaleza de punto crítico indeterminada
También se puede usar el criterio del Determinante Hessiano
| A B |
Δ = | | = AC - B²
| B C |
Si cumple
df/dx = 0 --> Pto. crítico --> Ptos. Máximos o mínimos
en R3 f : R²-->R
(x,y)-->z = f(x,y)
∂f/∂x = 0 --> Ptos. Críticos --> Ptos. extremos
∂f/∂y = 0
Suponiendo z = f(x,y) definida en cierto dominio D, en el cual contiene un punto Po(xo,yo). Se dice que f(x,y) tiene un MÁXIMO RELATIVO en (xo,yo) si se cumple
f(x,y) ≤ f(xo,yo)
para (x,y) suficientemente cercano a (xo,yo)
Si f(x,y) ≥ f(xo,yo), entonces se dice que f(x,y) tiene un MÍNIMO RELATIVO en (xo,yo).
Teorema:∂f/∂x = 0 --> Ptos. Críticos --> Ptos. extremos
∂f/∂y = 0
Suponiendo z = f(x,y) definida en cierto dominio D, en el cual contiene un punto Po(xo,yo). Se dice que f(x,y) tiene un MÁXIMO RELATIVO en (xo,yo) si se cumple
f(x,y) ≤ f(xo,yo)
para (x,y) suficientemente cercano a (xo,yo)
Si f(x,y) ≥ f(xo,yo), entonces se dice que f(x,y) tiene un MÍNIMO RELATIVO en (xo,yo).
Sea z = f(x,y) definida en un dominio D y que existan las derivadas parciales y que sean continuas en D. Sea (xo,yo) las coordenadas de un punto donde ∂z/∂x ˄ ∂z/∂y son iguales a cero y sean:
A = ∂²z/∂x² evaluado en xo,yo
B = ∂²z/∂x∂y evaluado en xo,yo
C = ∂²z/∂y² evaluado en xo,yo
Entonces se tienen los siguientes casos
B² - AC < 0 ˄ A + C < 0, Ǝ Mr en (xo,yo)
B² - AC < 0 ˄ A + C > 0, Ǝ mr en (xo,yo)
B² - AC > 0, Ǝ Punto de Silla en (xo,yo)
B² - AC = 0, Naturaleza de punto crítico indeterminada
También se puede usar el criterio del Determinante Hessiano
| A B |
Δ = | | = AC - B²
| B C |
Si cumple
Δ > 0, A < 0 (0C < 0), Ǝ Mr en (xo,yo)
Δ > 0, A > 0 (0C > 0), Ǝ mr en (xo,yo)
Δ < 0, Ǝ punto de silla en (xo,yo)
Δ = 0, Naturaleza de punto crítico indeterminada
Δ > 0, A > 0 (0C > 0), Ǝ mr en (xo,yo)
Δ < 0, Ǝ punto de silla en (xo,yo)
Δ = 0, Naturaleza de punto crítico indeterminada
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