CÁLCULO VECTORIAL: Febrero

Contenido del Mes

Geometría Analítica del Espacio.

Módulo de un vector.
El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.

El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene

módulo cero.

U= (U1,U2,U3)

U=(U1^2+U2^2+U^3)^1/2

Vector unitario.

Un vector unitario tiene de módulo la unidad.

Normalizar un vector consiste en asociarle otro vector unitario, de la misma dirección y

sentido que el vector dado. Para ello se divide cada componente del vector por su módulo.

Unitario=(U/U)

Componentes de un vector en el espacio

Si las coordenadas de A y B son: A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) Las coordenadas o componentes

del vector se obtienen restando a las coordenadas del extremo las del origen.

Base ortogonal

Una base es ortogonal si los vectores de la base son perpendiculares entre sí.

Base normada

Es aquella constituida por vectores unitarios, es decir, de módulo la unidad.

Base ortonormal

Una base es ortonormal si los vectores de la base son perpendiculares entre sí, y además

tienen módulo 1.

Suma de vectores.

U=(U1,U2,U3); V=(V1,V2,V3)

U+V= (U1+V1,U2+V2,U3+V3)

Producto de un número real por un vector.

K igual a una constante cualesquiera.

KU=(kU1,kU2,kU3)

Producto vectorial

El producto vectorial de dos vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos

vectores y su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de u a v.
El producto mixto

De los vectores U ,V ⃗es igual al producto escalar del primer vector por

el producto vectorial de los otros dos.

Producto escalar.
Se define como el producto de dos vectores de una misma dimensión y cuyo resultado es un escalar.

Angulo de dos vectores

Funciones implícitas

En las funciones implícitas no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.

5x - y - 2 = 0

Ecuación vectorial.
Se refiere

Ecuaciones paramétricas del plano.

Ecuación general del plano

Un punto está en el plano π si tiene solución el sistema:

Este sistema tiene que ser compatible determinado en las incógnitas λ y µ· Por tanto el determinante de la matriz ampliada del sistema con la columna de los términos independientes tiene que ser igual a cero.

Vector normal

El vector es un vector normal al plano, es decir, perpendicular al plano.Si P(x0, y0, z0) es un punto del plano, el vector es perpendicular al vector , y por tanto el producto escalar.

Plano.

En geometría, un plano es un objeto ideal que solo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; son conceptos fundamentales de la geometría junto con el punto y la recta

Distancia de un punto a un plano[editar]

Para un plano cualquiera $\Pi :ax+by+cz+d=0\,$ y un punto cualquiera ${\mathbf p}_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$ no necesariamente contenido en dicho plano Π, la menor distancia entreP₁ y el plano Π es:

$D={\frac {\left|ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d\right|}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}}.$

De lo anterior se deduce que el punto P₁ pertenecerá al plano Π si y solo si D=0.

Si los coeficientes a, b y c de la ecuación canónica de un plano cualquiera están normalizados, esto es cuando ${\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=1$ , entonces la fórmula anterior de la distancia D se reduce a:

$D=\ |ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d|.$

Ecuación del plano.

Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos: un punto y dos vectores:

Punto P = (x₁, y₁, z₁)
Vector u = (a₁, b₁, c₁)
Vector v = (a₂, b₂, c₂)

$(x,y,z)=(x_{1},y_{1},z_{1})+m(a_{1},b_{1},c_{1})+n(a_{2},b_{2},c_{2})\,\!$

Limites de una Función Vectorial.

Al igual que en las funciones de variable real, los límites de las funciones reales se determinan a cada uno de ejes, los cuales deben tener dicho límite en toda la región dada.