CÁLCULO VECTORIAL: Mayo

Mayo

Integrales Múltiples

En el caso de funciones constantes, el resultado es trivial: simplemente multiplíquese el valor de la función constante c por la medida del dominio de integración. Si c = 1, y es integrada a través de una región de R² esto da el área de la región, mientras que si es una región de R³ da el volumen de la región y así sucesivamente.

Por ejemplo:

D = \{ (x,y)| \ 2 \le x \le 4 \ ; \ 3 \le y \le 6 \}

f(x,y) = c\,\!

Integrando f sobre D:

\int_3^6 \int_2^4 \ c \ dx\, dy = c \cdot \mbox{area}(D) = c \cdot (3 \cdot 2) = c \cdot 6.

Uso de simetrías

En el caso de un dominio en el que exista simetría al menos respecto de uno de los ejes, y donde la función para integrar contenga al menos una función impar con respecto a esa variable, la integral se vuelve nula (ya que la suma de cantidades iguales con signo opuesto es cero). Por ejemplo

Dada

f(x,y) = 2 \ \sin(x) - 3 \ y^3 + 5

y que

T = x^2 + y^2 \le 1

es el dominio de integración del disco de radio 1 centrado en el origen.

Usando la propiedad lineal de las integrales, la integral se descompone en tres partes:

\iint_T (2 \ \sin(x) - 3 \ y^3 + 5) \ dx \, dy = \iint_T 2 \ \sin(x) \ dx \, dy - \iint_T 3 \ y^3 \ dx \ dy + \iint_T 5 \ dx \ dy

Ya que tanto 2 sin(x) como 3y³ son funciones impares, y existe simetría tanto con respecto al eje x como con respecto al eje y, las primeras dos integrales se nulifican, de tal forma que la integral original es igual únicamente a la tercera.

\iint_T (2 \ \sin(x) - 3 \ y^3 + 5) \ dx \, dy = \iint_T 5 \ dx \, dy = 5 \pi

Cambio de variables

A menudo, es útil para reducir la complejidad de la integral cambiar una variable por otra que resulte más cómoda, sin embargo esto exige el cambio de la región de integración, además de añadir un factor de corrección al diferencial conocido como determinante jacobiano (en valor absoluto o módulo). El cambio de una variable por otra es en un sentido geométrico, una transformación desde un espacio hasta otro, y es esta transformación la que exige estos ajustes.

Si se utiliza una transformación que siga la relación:

f(y_1,\ldots,y_n) \rightarrow f(y_1(x_1,x_2,\ldots,x_n),\ldots,y_n(x_1,x_2,\ldots,x_n))

Entonces se puede utilizar el jacobiano de la transformación para simplificar la integral

J=\frac{D(y_1,\ldots,y_n)}{D(x_1,\ldots,x_n)}= \begin{vmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial y_n}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_n}{\partial x_n} \end{vmatrix}

Integrando la función transformada en el dominio de integración correspondiente a las variables x, y multiplicando por el valor absoluto del determinante jacobiano y por la serie de diferenciales, se obtiene una integral múltiple que es igual a la integral original, si es que esta existe.

\iint \ldots \int_{D} \,f(y_1,\ldots,y_n) dy_1 \ldots \,dy_n = \iint \ldots \int_{T} \,f(x_1,\ldots,x_n) |J| dx_1 \ldots \,dx_n

A continuación se dan algunos ejemplos de estas transformaciones.

Coordenadas Polares

La transformación de coordenadas rectangulares a polares. Se puede notar que el área de la región polar es distinta que la de la región rectangular, lo que justifica la necesidad del jacobiano. También se puede demostrar que si se consiera

\rho = (\rho_1 + \rho_2)/2

(el radio medio), el área de la región polar es efectivamente

\rho \Delta \rho \Delta \theta

En un espacio R², un dominio de integración que tenga una simetría circular es muchas veces suceptible de ser transformado de coordenadas rectangulares a polares, lo que significa que cada punto P (x, y) del dominio de una integral doble tomará su valor correspondiente en coordenadas polares mediante la siguiente transformación:

f(x,y) \rightarrow f(\rho \ \cos \theta,\rho \ \sin \theta )

Por ejemplo:

Si la función es

f(x,y) = x + y\,\!

aplicando la transformación se obtiene la función fácilmente integrable con respecto a

\phi

y a

\rho

f(\rho, \phi) = \rho \cos \phi + \rho \sin \phi = \rho \ (\cos \phi + \sin \phi ).

Se pueden obtener funciones incluso más simples:

Si la función es

f(x,y) = x^2 + y^2\,\!

Uno tiene:

f(\rho, \theta) = \rho^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = \rho^2\,\!

Si aplica la identidad trigonométrica pitagórica de senos y cosenos.

El determinante jacobiano de la transformación es:

\frac{\partial (x,y)}{\partial (\rho, \theta)} = \begin{vmatrix} \cos \theta & - \rho \sin \theta \\ \sin \theta & \rho \cos \theta \end{vmatrix} = \rho

El cual se obtiene insertando las derivadas parciales de x = ρ cos(θ), y = ρ sin(θ) en la primera columna con respecto a ρ y en la segunda con respecto a

\theta

Por lo tanto, una vez transformada la función, y multiplicada por su determinante jacobiano, ésta es igual a la integral original:

\iint_D f(x,y) \ dx\, dy = \iint_T f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) \rho \, d \rho\, d \theta.

Coordenadas Esféricas

Gráfica de las coordenadas esféricas.

Cuando existe simetría esférica en un dominio en R³, es posible utilizar una transformación hacia coordenadas esféricas para simplificar una integral triple. La función es transformada por la relación:

f(x,y,z) \longrightarrow f(\rho \cos \theta \sin \phi, \rho \sin \theta \sin \phi, \rho \cos \phi)\,\!

El determinate jacobiano de la transformación es el siguiente:

\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (\rho, \theta, \phi)} = \begin{vmatrix} \cos \theta \sin \phi & \sin \theta \sin \phi & \cos \phi\\ - \rho \sin \theta \sin \phi& \rho \cos \theta \sin \phi & 0 \\ \rho \cos \theta \cos \phi & \rho \sin \theta \cos \phi & - \rho \sin \phi \end{vmatrix} = - \rho^2 \sin \phi

Tomando el valor absoluto del determinante se obtiene el factor que se debe añadir a la integral.

Por lo tanto los diferenciales dx dy dz se transforman en ρ² sin(φ) dρ dθ dφ.

Finalmente se obtiene la fórmula de integración:

\iiint_D f(x,y,z) \, dx\, dy\, dz = \iiint_T f(\rho \cos \theta \sin \phi, \rho \sin \theta \sin \phi, \rho \cos \phi) \rho^2 \sin \phi \, d\rho\, d\theta\, d\phi.

Coordenadas Cilíndricas

Gráfica de las Coordenadas Cilíndricas (Se muestra el ángulo θ como φ).

El uso de coordenadas cilíndricas para transformar una integral triple, es conveniente especialmente cuando el dominio de integración presenta simetría alrededor del eje z. La función se transforma mediante la siguiente relación.